สาระวิทย์ในศิลป์ 17: สุขสันต์วันพาย Happy Pi Day

เรื่องโดย วริศา ใจดี

ต้อนรับเดือนมีนาคมด้วยการเตรียมตัวฉลองวันพาย ซึ่งวันที่ 14 มีนาคมของทุกปีเป็นวันสำคัญตามค่าพาย 3.14

แต่ไม่เพียงแค่นั้น จะด้วยความบังเอิญหรือไม่ก็ตาม วันนี้ยังเป็นวันสำคัญของนักฟิสิกส์ชื่อดังถึงสองท่าน คือเป็นวันเกิดของแอลเบิร์ต ไอน์สไตน์ และวันเสียชีวิตของสตีเฟน ฮอว์กิงอีกด้วย

เนื่องในโอกาสวันพาย ตัวเลขอันแสนพิศวงของโลกนี้ สาระวิทย์ในศิลป์ฉบับนี้จะมาพูดถึงค่าพาย ที่เราอาจคุ้นเคยกันในวิชาคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์ในฐานะของตัวเลขน่าปวดหัวที่ต้องท่องจำ แต่อาจไม่เคยรู้ว่ามันมีประโยชน์มากมายอย่างคาดไม่ถึง

ค่าพายคืออะไรกัน

ก่อนอื่นเรามาทำความรู้จักกับค่าพายกันก่อน นิยามของค่าพายคือ อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมใดๆ ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น ไม่ว่าวงกลมจะมีขนาดเท่าไรอัตราส่วนนี้ก็เท่ากับค่าพายเสมอ ค่าพายที่เราใช้กันในการคำนวณคือค่าประมาณ 3.14 แต่ค่าพายนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) ทำให้ค่าเศษส่วนที่แท้จริงหรือ 22/7 เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำและไม่รู้จบ

ประวัติศาสตร์ของค่าพายนั้นมีมายาวนานและมีหลายรูปแบบ แล้วแต่วัฒนธรรม ในบทความนี้ ฉันจะขออ้างอิงประวัติศาสตร์ตามหนังสือ A History of Pi โดยคุณ Petr Beckmann เพื่อเล่าคร่าวๆ เกี่ยวกับการค้นพบค่าพายในวัฒนธรรมและยุคสมัยต่างๆ จากอดีตจนถึงปัจจุบัน

ชาวบาบิโลเนียนเป็นที่รู้จักจากความสามารถทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาที่มีหลักฐานเป็นลายลักษณ์อักษรบนแผ่นศิลาจารึก ตั้งแต่ทฤษฎีพีทาโกรัสรวมไปถึงการประมาณค่าพายโดยใช้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า

ที่มาภาพ: หนังสือ A History of Pi by Petr Beckmann

จากรูป เส้นรอบรูปของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าภายในวงกลมมีค่าเท่ากับหกเท่าของ r รัศมีวงกลมที่มีเส้นรอบวง C

อัตราส่วนของเส้นรอบรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าต่อเส้นรอบวงของวงกลมจึงเท่ากับ 6r/C ซึ่งชาวบาบิโลเนียนได้จารึกการค้นพบทางเรขาคณิตก่อนหน้านี้ไว้ว่า อัตราส่วนของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าต่อเส้นรอบรูปของวงกลมที่ล้อมรอบ มีค่าเท่ากับ 57/60 + 36/60² นั่นคือ 6r/C = 57/60 + 36/60² และผลลัพธ์ค่าพายที่ได้คือ π = 3 1/8 = 3.125

เริ่มเกริ่นมาด้วยการใช้รูปร่างเรขาคณิตอื่นๆ มาช่วยคำนวณวงกลม ก็น่าจะเดากันได้ว่า วิธีการหาค่าพายด้วยรูปเหลี่ยมในวงกลมจะพัฒนาไปเป็นอย่างไร อย่างที่เรารู้กันว่า รูปร่างวงกลมเกิดจากรูปหลายเหลี่ยมที่เมื่อเพิ่มจำนวนมุมมากๆ เข้าก็จะกลายเป็นวงกลมในที่สุด หลายปีก่อนคริสตศักราช อาร์คิมีดีสได้ใช้หลักนั้นพัฒนาวิธีการหาค่าพายโดยเชื่อมโยงเข้ากับรูปหลายเหลี่ยม จนได้ค่าพายที่มีจำนวนหลักทศนิยมละเอียดและเที่ยงตรงมากขึ้น ภายหลังที่อาร์คิมีดีสได้ริเริ่มใช้รูปหลายเหลี่ยมในการหาค่าพาย วิธีการนี้ก็เรียกว่า Archimedean Inscribed Polygon จากนั้นชาวจีนชื่อ Liu Hui ก็ได้ปรับใช้วิธีการนี้และพัฒนาโดยเพิ่มจำนวนเหลี่ยมไปถึง 192 ด้าน ซึ่งประเมินค่าพายได้ที่ระหว่าง 3.141024 ถึง 3.142704 และเมื่อเขาใช้รูปหลายเหลี่ยม 3,072 ด้าน เขาก็ได้ข้อสรุปว่า π มีค่าเท่ากับ 3.14159

ไม่ว่าจะในยุคสมัยและวัฒนธรรมใดๆ ก็ต่างประเมินค่าพายออกมาใกล้เคียงกันเพื่อใช้แก้ปัญหาในชีวิตประจำวัน อย่างชาวโรมที่ต้องการคิดขนาดของวงล้อในการสร้างรถม้า ในบางทีฉันก็ชอบลองคิดถึงที่มาของทฤษฎีที่เราเคยต้องเรียนรู้และท่องจำจากในบทเรียน และลองสมมติว่าถ้าตัวเองเป็นคนในสมัยเมื่อหลายพันปีก่อนที่ไม่เคยเรียนรู้ตัวเลขใดๆ แล้วฉันจะสามารถคิดค้นหลักการหรือวิธีเหล่านี้ขึ้นมาได้อย่างไรจากอุปกรณ์ที่มีอยู่รอบตัว คิดๆ แล้วก็ยิ่งนับถือคนสมัยก่อนมากๆ

พื้นที่วงกลมกับการหาค่าพาย

นอกจากค่าพายจะบอกถึงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางกับเส้นรอบวงของวงกลมแล้ว ค่าพายยังใช้บอกความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่วงกลมกับรัศมี ผ่านสูตร πr² ค่าพายในสมัยก่อนไม่ได้ค้นพบขึ้นลอยๆ อย่างไม่มีเหตุผล หากแต่มักจะเป็นปัญหาขบคิดเมื่อพวกเขาพยายามแก้ปัญหาอื่น แต่ติดขัดเพราะไม่รู้จักค่าพายนี่แหละ เช่น การหาพื้นที่วงกลม บางยุคสมัยถึงแม้จะไม่ได้กล่าวถึงค่าพายโดยตรง แต่ก็มีบันทึกว่าอัตราส่วนของพื้นที่รูปวงกลมสองรูปนั้นเป็นไปตามอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของรูปวงกลมสองรูปนั้นยกกำลังสอง นั่นแปลว่าพวกเขาได้เห็นความสัมพันธ์บางอย่างในการคำนวณเกี่ยวกับวงกลม ชาวอียิปต์ได้ใช้ความสัมพันธ์ในการคำนวณหาพื้นที่วงกลมนี้เพื่อย้อนหาค่าพาย โดยเริ่มต้นจากการตีกรอบรอบวงกลมให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสความยาวด้านละ 9 หน่วย ดังรูป

ที่มาภาพ: หนังสือ A History of Pi by Petr Beckmann

จากนั้นทำการโยงเส้นทแยงมุมเพื่อตัดมุมทั้งสี่ และสร้างเป็นรูปแปดเหลี่ยม ABCDEFGH ซึ่งพื้นที่ของรูปแปดเหลี่ยมนี้จะมีความใกล้เคียงกับพื้นที่ของวงกลม

พื้นที่ที่แรเงาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 รูป แต่ละรูปมีความยาวด้านละ 3 หน่วย รวมพื้นที่ 5(3X3) = 45 ตารางหน่วย
สามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมทั้งสี่ของรูป มีพื้นที่รูปละ 1/2 X3X3 = 4.5 ตารางหน่วย รวมพื้นที่ 4.5X4 = 18 ตารางหน่วย
ผลรวมของพื้นที่แปดเหลี่ยมคือ 45+18 = 63 ตารางหน่วย ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับ 64 หรือกำลังสองของ 8

ผลสรุปคือ พื้นที่ของวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 9 หน่วย มีพื้นที่ราว 64 ตารางหน่วย หรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ความยาวด้านละ 8 หน่วย นั่นนำไปสู่การหาค่าพาย

นี่เป็นหลักฐานที่แสดงให้เห็นว่า ชาวอียิปต์รู้จักสูตรพื้นที่วงกลม ซึ่งปัจจุบันหาได้จากหลักการอินทิเกรต แต่สูตรนี้มีมาก่อนที่แคลคูลัสจะคิดค้นขึ้นเสียอีก นักคณิตศาสตร์คาดเดาจากหลักฐานที่มีอยู่ว่าเป็นไปได้ที่คนสมัยก่อนจะใช้วิธีพื้นฐานอย่างการจัดเรียงใหม่ ดังในภาพ

ที่มาภาพ: หนังสือ A History of Pi by Petr Beckmann

โดยการตัดแบ่งวงกลมออกเป็นเสี้ยวเล็กๆ และนำมาเรียงแถวกันในแนวยาว โดยพื้นที่แรเงาคือพื้นที่ตัดจากวงกลม และพื้นที่สีขาวคือชิ้นส่วนที่เพิ่มขึ้นมาเพื่อเติมให้เต็มแถว ยิ่งแบ่งเสี้ยวเล็กเข้าเท่าไร แถบที่นำมาเรียงก็ยิ่งมีความโค้งน้อยลงและใกล้เคียงกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามากยิ่งขึ้น โดยความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นมีค่าเท่ากับผลรวมความยาวของเส้นรอบวงหรือ 2πr และความกว้างก็มีค่าเท่ากับรัศมีวงกลมหรือ r และเมื่อเข้าสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือความกว้างคูณความยาว ก็จะได้พื้นที่มีค่าเท่ากับ r(2πr) หรือ 2πr² ซึ่งจากขั้นตอนก่อนหน้าที่เพิ่มชิ้นส่วนสีขาวขึ้นมา ค่าที่ได้คือสองเท่าของพื้นที่วงกลม นั่นทำให้สูตรพื้นที่วงกลมจริงๆ คือ πr² นั่นเอง

ทดลองหาค่าพายกัน !

อ่านมาถึงตรงนี้ หลายๆ คนอาจยังไม่เข้าใจว่าตัวเลขที่มีประวัติศาสตร์อันยาวนานซับซ้อนนี้มีที่มาที่ไปอย่างไร จะให้ดีก็ต้องทดลองหากันด้วยตัวเอง แน่นอนว่าวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือการวัดแบบตรงๆ ก่อนอื่นหยิบวงเวียนมาวาดวงกลมหนึ่งวง ใช้เชือกเส้นหนึ่งขดรอบวงของวงกลมที่วาดไว้ จากนั้นใช้ไม้บรรทัดวัดความยาวของเส้นเชือกที่ใช้ ซึ่งก็คือเส้นรอบวง และท้ายที่สุดก็หารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม แล้วจะพบว่าค่าที่ได้นั้นคือ 3.1415926535… หรือก็คือค่าพายนั่นเอง แต่ถ้าลองนึกย้อนไปเมื่อหลายพันปีก่อน ไม้บรรทัด วงเวียน หรือแม้แต่ระบบหน่วยวัดมาตรฐานยังไม่ได้คิดค้นขึ้นด้วยซ้ำ เป็นเรื่องที่ทำเอาฉันสงสัยว่าค่าพายนั้นคิดค้นขึ้นโดยมนุษย์หรือค้นพบจากสิ่งที่มีอยู่ในธรรมชาติกันแน่

แค่นี้เราก็สามารถหาค่าพายได้ด้วยตนเองแล้ว ! แต่กว่าจะได้แต่ละหลักทศนิยมมานั้นมันช่างยากเย็น ตั้งแต่ชาวบาบิโลเนียนจนถึงคุณอาร์คิมีดีส ประวัติศาสตร์การพัฒนาเทคนิคหารหาค่าพายที่ละเอียดและเที่ยงตรงได้พัฒนามาเรื่อยๆ ราวศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบค่าพายจนถึง 500 หลัก และด้วยเทคโนโลยีที่พัฒนาไปอย่างรวดเร็วทำให้ค้นพบจำนวนหลักทศนิยมของค่าพายขึ้นเรื่อยๆ ด้วยความช่วยเหลือของสมองกลคอมพิวเตอร์ ที่ช่วยเราคำนวณค่าพายได้อย่างแม่นยำมากขึ้น

จนมาถึงปัจจุบัน ค่าพายที่เรารู้จักกันนั้น แม้จะไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีบันทึกสะสมไว้ใน Guinness World Record ถึงจำนวนหลักทศนิยมสูงสุดของค่าพายที่เรารู้ เมื่อปี พ.ศ.2562 คุณ Emma Haruka Iwao นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชาวญี่ปุ่น ครองสถิติคำนวณค่าพายได้ถึง 31,415,926,535,897 หลักทศนิยม

แต่ด้วยเทคโนโลยีอันก้าวล้ำ สถิตินั้นก็ถูกล้มภายในเวลาไม่ถึงปี โดยเมื่อวันที่ 29 มกราคม พ.ศ.2563 คุณ Timothy Mullican ชาวอเมริกัน ได้เป็นผู้ครองสถิติค่าพายที่แม่นยำที่สุดถึง 50,000,000,000,000 (50 ล้านล้าน) หลักทศนิยม จะเห็นได้ว่าระยะเวลาเพียงปีกว่าๆ ค่าพายก็เพิ่มขึ้นจากเดิมมากว่า 20 ล้านล้านหลักทศนิยม

แน่นอนว่าสถิตินี้ไม่มีวันหยุดนิ่ง โอกาสในการหาค่าพายนั้นเปิดกว้างให้คนทั่วโลกมาร่วมด้วยช่วยกัน ถ้ามีใครล้มสถิติ 50 ล้านล้านหลักได้ละก็ อย่าลืมติดต่อไปที่ Guinness World Record ล่ะ ! สาระวิทย์ในศิลป์ฉบับนี้ขอลาไปก่อน และท้ายที่สุดก็…สุขสันต์วันพาย !

ขอบคุณข้อมูลจาก:

หนังสือ A History of Pi by Petr Beckmann

A Brief History of Pi by G. Donald Allen (https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/alg_numtheory/pi.pdf)

สามารถอ่านบทความในรูปแบบ e-Magazine ได้ในนิตยสารสาระวิทย์ ฉบับที่ 96 เดือนมีนาคม 2564
https://oer.learn.in.th/search_detail/result/222125